Линейная регресия

ЗАДАНИЕ № 1

1. Рассчитайте параметры линейной регрессии с помощью стандартной функции Excel линейн(). Поясните смысл найденных параметров.
2. Рассчитайте параметры нелинейной регрессии с помощью стандартной функции Excel лгрфприбл(). Проанализируйте результат.
3. Выведите параметры линейной, логарифмической, степенной, полиномиальной (2, 4, 6 степень) регрессии используя стандартную возможность Excel построение линии тренда. Выберите из всех наилучшую модель для ваших данных.
4. Рассчитайте по ней прогнозируемое значение функции соответствующее среднему значения параметра х. Найдите ошибку прогноза. Сделайте выводы.

№ п/п	Урожайность зерновых культур с 1 га, ц	Себестоимость 1 ц зерна, тыс. руб.
1	9,1	5,42
2	10,2	4,5
3	12,3	3,6
4	14,4	3,1
5	17,4	2,74
6	19,1	2,64
7	19,4	2,43
8	20,8	2,86
9	21,1	2,57
10	22,4	2,42

1. Для расчета параметров  a  и b  линейной регрессии  y=a+bx , воспользуемся стандартной функцией Excel ЛИНЕЙН(), получим:   b= -0,18949;  a=6,37739. Уравнение регрессии имеет вид :

 y=6,37739+-0,18949x    

b= -0, 18949 – коэффициент регрессии означает, что с увеличением урожайности зерновых культур с 1 га на 1ц, себестоимость 1ц зерна уменьшится на 0,18949 тыс. руб. т.е. приблизительно на 19 руб. Параметр a

=6,37739 — отрезок , который прямая отсекает на оси Y(Если на оси 0Y откладывать себестоимость).

2.  Параметры  показательной  регрессии:        y = bm^x , получены с помощью стандартной функции Excel ЛГРФПРИБЛ():

b=7,544379; m=0,948107.

уравнение регрессии имеет вид: y = 7,544379*0,948107^x.

Сосчитаем по данным двум функциям координаты точек для заданных значений Х, также воспользовавшись средствами Excel, и результаты в виде точечных диаграмм приведем на рисунке 1:

ряд1 – параметры, заданные в исходных данных;

ряд2 – параметры линейной регрессии y=6,37739+-0,18949x  ;

ряд 3 – параметры регрессии y = 7,544379*0,948107^x.

Рисунок 1

По рисунку видно, что данные полученных регрессий хорошо согласуются с исходными данными.

3. Параметры линейной, логарифмической, степенной, полиномиальной (2, 4, 6 степень) регрессии получим, используя стандартную возможность Excel построение линии тренда, результат – на рисунке 2.

Рисунок 2

Наилучшая модель для наших данных – полиномиальная регрессия. 1.Возьмем полином 2-ой степени —

У неё коэффициент детерминации:  =0,9627.

Рассчитаем по ней прогнозируемое значение функции, соответствующее среднему значения параметра х. Для этого составим расчетную таблицу 1.

№	X	Y	Yтеор.	(Y-Yтеор)/ Y
1	9,1	5,42	5,17588	0,045041
2	10,2	4,5	4,64964	0,033253
3	12,3	3,6	3,80628	0,0573
4	14,4	3,1	3,1746	0,024065
5	17,4	2,74	2,6394	0,036715
6	19,1	2,64	2,52788	0,04247
7	19,4	2,43	2,5226	0,038107
8	20,8	2,86	2,55508	0,106615
9	21,1	2,57	2,57428	0,001665
10	22,4	2,42	2,7074	0,11876
Сумма	166,2	32,28	518,2016	0,503992
Среднее	16,62	3,228	2,736994	0,050399

В таблице:

Среднее значение X:

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

 

Средняя ошибка аппроксимации: 

, следовательно в среднем расчетные значения Y отклоняются от фактических на 5,04%.

Ошибка прогноза составит:

где , остаточная дисперсия. В нашем примере n = 10 (количество наблюдений), m = 2 (количество оцениваемых параметров, то есть коэффициентов перед фактором х).

Получили .

Фактическое значение себестоимости 1 ц зерна  при прогнозируемой урожайности зерновых культур х_пр = 16,62ц  может колебаться от y_пр^t = 2,74 – 0,23 = 2,51 тыс. руб. до y_пр^t = 2,74+ 0,23 = 2,97 тыс. руб.

2.Возьмем полином 6-ой степени: y = -2E-05x⁶ + 0,0013x⁵ — 0,0479x⁴ + 0,8773x³ — 8,6142x² + 41,914x — 70,47, у неё коэффициент детерминации:

 =0, 9908, т.е. больше чем у полинома 2-ой степени.

Для этой регрессии получим:

Ошибка прогноза составит:

где , остаточная дисперсия. В нашем примере n = 10 (количество наблюдений), m = 6 (количество оцениваемых параметров, то есть коэффициентов перед фактором х).

=0.08316;

Получили .

Фактическое значение себестоимости 1 ц зерна  при прогнозируемой урожайности зерновых культур х_пр = 16,62ц  может колебаться от y_пр^t = 2,79 – 0,087 = 2,703 тыс. руб. до y_пр^t = 2,79 + 0,087 = 2,877 тыс. руб.

ЗАДАНИЕ № 2

Решить матричную игру, заданную матрицей.

15.	8	0	6	7
P =	3	6	3	1

Данная игра имеет размерность 2×n и к ней можно применить графический метод решения.

Определяем α и β (есть ли чистые стратегии; и если их нет, находим решение в смешанных стратегиях).

 Матрица  игры А имеет вид

	Вj Аi	В1	В2	В3	В4	αi
А =	А1	8	0	6	7	0
	А2	3	6	3	1	1
	βi	8	6	6	7

α называется нижней ценой игры :

==  max{0;1}=1.

Величина β называется верхней ценой игры:

β=min{8;6;6;7}=6.

α ≠ β ,  значит нет  чистых стратегий, находим решение в смешанных стратегиях

Используем графический метод, откладываем отрезок длины единица, на концах которого проводим вертикальные линии.

Матрица 2´n, откладываем на левой и правой вертикальных шкалах значения, получаемые игроком В при использовании его j-й стратегии, то есть В_j и соединяем их линией.

Если второй игрок будет придерживаться только первой стратегии, то будет иметь выигрыш от 3 до 8 рублей. Откладываем на левой вертикальной линии 8 единиц, на правой – 3. Соединяем их, получаем отрезок В₁В₁. Аналогично строим остальные.

После этого выделяем нижнюю ломаную и ее точку максимума — N. Эта точка получена пересечением второй и четвертой прямой, то есть в итоге мы должны рассмотреть матрицу 2´2.

Первую и третью стратегии не рассматриваем, они оказались лишними. Действительно, выигрыши по 1-ой и 3-й стратегии превышают значения выигрышей, на выделенной ломаной B2NB4  и они не выгодны для 2-го игрока (В). Далее указываем частоты выбора:

	у	1 – у
х	0	7
1 — х	6	1

Эту задачу можно решать без использования классической теории оптимизации, то есть можно записать систему уравнений:

0y + 7(1 – y) = V
6y + 1(1 – y) = V

Аналогично:

0х + 6(1 – х) = V
7х + 1(1 – х) = V

Решая эти системы, получаем: у = 1/2; х = 5/12; V = 3,5.

Ответ:        V = 7/2 при Х_опт = (5/12; 7/12) и У_опт = (0; 5/12; 0; 7/12).

ЗАДАНИЕ № 3

Построить матрицу игры и решить

Варианты 11-15

Изменение климата в регионе предполагает возможность развития туризма. Есть проекты строительства нескольких туристических комплексов (от 1 до 4) в живописных местах региона. Ожидается, что возможное количество туристов не превысит 1000. Известны вероятности того, что количество туристов составит 250, 500, 750 или 1000. Известны затраты на строительство комплекса, который может принять 250 туристов, а также затраты на поддержание его в рабочем состоянии. Известна стоимость одной путёвки и затраты на обслуживание одного туриста. Требуется решить, сколько комплексов строить? Какая прибыль при этом ожидается?

№ варианта	11	12	13	14	15
Затраты на строительство	100	120	80	140	90
Эксплуатационные затраты	25	30	15	50	30
Стоимость путёвки	3	4	2	5	4
Затраты на обслуживание	0,5	2	1	3	2,5
Количество туристов	Вероятность
250	0,2	0,3	0,2	0,4	0,2
500	0,3	0,2	0,1	0,2	0,4
750	0,4	0,3	0,4	0,1	0,2
1000	0,1	0,2	0,3	0,3	0,2

Возможны следующие варианты строительства:

1 – построить 1 комплекс на 250 человек;

2 – построить 2 комплекса, которые могут вместить 500 человек;

3 – построить 3 комплекса, которые могут вместить 750 человек;

4 – построить 4 комплекса, которые могут вместить 1000 человек.

Затраты на построение 1 комплекса и поддержание его в рабочем состоянии составляют: 90+30=120 ден. ед.

Затраты на обслуживание 250 туристов: 250* 2.5=626 ден. ед.

Стоимость путевок на 250 туристов: 250*4=1000 ден. ед.

Обозначим через x_i возможные решения — сколько комплексов построить, а через S_j – возможное состояние спроса, т. е. сколько туристов заедет:

S₁ — 250 человек;

S₂ — 500 человек;

S₃ — 750 человек;

S₄ — 1000 человек;

Оценим каждый исход, то есть найдём значения d_ij. Здесь i,j = 1, 2, 3, 4. Запишем их в матрицу игры, размерность которой будет 4х4. Например, d₁₁ – значение прибыли, если построили 1 комплекс  и заехало 250 человек, прибыль составит: 1000-120-625=225 ден.ед; и вообще, сколько бы туристов не заехало (заезжает всегда не менее 250 человек), при постройке 1 комплекса прибыль будет 255 ден. ед. Итак,  d₁₁ =d₁₂ =d₁₂ =d₁₄ =255 ден. ед.

d₂₁– значение прибыли, если построили 2 комплекса  и заехало 250 человек, прибыль составит: 1000-2*120-625=135 ден. ед.

d₂₂– значение прибыли, если построили 2 комплекса  и заехало 500 человек, прибыль составит: 2000-2*120-2*625=510 ден. ед.

d₂₃= d₂₄ , прибыль составит: 2000-2*120-2*625=510 ден. ед.

d₃₁– значение прибыли, если построили 3 комплекса  и заехало 250 человек, прибыль составит: 1000-3*120-625=15 ден. ед.

d₃₂– значение прибыли, если построили 3 комплекса  и заехало 500 человек, прибыль составит: 2000-3*120-2*625=390 ден. ед.

d₃₃– значение прибыли, если построили 3 комплекса  и заехало 750 человек, прибыль составит: 3000-3*120-3*625=765 ден. ед.

d₃₄=765 ден. ед.

d₄₁– значение прибыли, если построили 4 комплекса  и заехало 250 человек, прибыль составит: 1000-4*120-625=-105 ден. ед.

d₄₂– значение прибыли, если построили 4 комплекса  и заехало 500 человек, прибыль составит: 2000-4*120-2*625=270 ден. ед.

d₄₃– значение прибыли, если построили 4 комплекса  и заехало 750 человек, прибыль составит: 3000-4*120-3*625=645 ден. ед.

d₄₄– значение прибыли, если построили 4 комплекса  и заехало 1000 человек, прибыль составит: 4000-4*120-4*625=1020 ден. ед.

Матрица прибылей имеет вид:

                                                                  Таблица 1

D =	Sj xi	1	2	3	4
	1	255	255	255	255
	2	135	510	510	510
	3	15	390	765	765
	4	-105	270	645	1020

1. Правило максимальной вероятности. Суть его: максимизация наиболее вероятных доходов.

Пусть известны вероятности спроса р_j, причём их сумма равна 1.

Sj	1	2	3	4
pj	0,2	0,4	0,2	0,2

Максимальная вероятность равна 0,4 – что соответствует 2 случаю т. е. заезду 500 человек. В таблице доходов (таблица 1) видим, что максимальный доход при спросе S₂    равен 510 – что соответствует решению построить 2 комплекса.

Вывод: построить 2 комплекса и тогда возможен доход 510 ден. ед..

Следующая группа правил состоит в оптимизации математического ожидания функции цели (прибыль, доход, убытки и др.).

Определим математическое ожидание для каждого из 4-х возможных решений. Найденные значения сведём в таблицу:

Расчёт ведём по значениям d_ij из первой таблицы. Так, например, для x₁ = 1 получаем: MD₁ =255×0,2 +255×0,4 +255×0,2 +255×0,2  = 255×(0,2 + 0,4 + 0,2 + 0,2) =255×1 = 255.

Для x₂ = 2 получаем: MD₂ = 135×0,2 +510×0,4+510×0,2+510×0,2 = 135×0,2 + 510× (0,4 + 0,2 + 0,2) =27 +510×0,8 =27 +408 = 435.

Аналогично находим остальные значения.

Таблица 2

xi	MDi	Максимальное значение равно 465; то есть V = 465
1	255
2	435
3	465
4	420

Вывод: максимальное математическое ожидание прибыли составит 465, если построить 3 комплекса.

3. Минимизация ожидаемых возможных потерь находится по матрице сожалений .
Элементы матрицы сожалений определяются по правилу: определяется максимальный доход для каждого исхода, затем из полученного значения вычитают значения дохода этого же исхода соответствующие всем решениям.

Обозначим упущенный доход как ud_ij. Расчётные формулы:

Заполним для рассматриваемого примера матрицу сожалений. Так, например, для первого исхода максимальное значение дохода равно 255. Найдём ud₁₁ = 255 – 255 = 0. ud₂₁ =255 –135 =120. ud₃₁ = 255 – 15 = 240 и т.д.

Для второго исхода или для спроса на 2 комплекса, т. е. заезд 500 человек, максимальный доход равен 510. Найдём ud₁₂ = 510 – 255 = 255.  ud₂₂ = 510 – 510 = 0. ud₃₂ = 510 –390 = 120 и т.д.

Таблица 3

UD =	Sj xi	1	2	3	4
	1	0	255	510	765
	2	120	0	255	510
	3	240	120	0	255
	4	360	240	120	0

Ожидаемые возможные потери при каждом решении х можно найти как сумму произведений вероятности возникновения спроса на упущенную выгоду при соответствующем спросе.

Например, для x₁ = 1 получаем: UD₁ = 0,2×0 + 0,4×255 + 0,2×510 + 0,2×765 = 0 + 102 +102 + 153 = 357. Аналогично находим остальные значения.

xi	UDi	Минимальные возможные потери равны 147; то есть V = 147
1	357
2	177
3	147
4	192

Вывод: минимальные возможные потери составят 147 ден. ед., при условии, что будут построены 3 комплекса.

Ответ:

1). По правилу максимальной вероятности, нужно построить 2 комплекса и тогда возможен доход 510 ден. ед.

2) По правилу оптимизации математического ожидания прибыли —  максимальное математическое ожидание прибыли составит 465ден. ед., если построить 3 комплекса.

3) По правилу минимизации ожидаемых возможных потерь — минимальные возможные потери составят 147 ден. ед., при условии, что будут построены 3 комплекса.

ЗАДАНИЕ № 4

Построить сетевой график по предложенному списку работ и заданной технологической последовательности. При необходимости добавить фиктивные работы. Найти основные параметры: ранние и поздние времена наступления событий, критическое время выполнения проекта и критический путь, раннее и позднее время начала и окончания работы, резервы времени работ (полный, свободный и независимый), коэффициент напряжённости.

13-16. Сборка гидромотора ГМ – 16

№	Содержание работы	Предш. работы	tij для вариантов
			13	14	15	16
1	Сборка золотника	—	1	2	2	1
2	Сборка шатуна	—	2	1	1	2
3	Сборка вала	—	2	3	1	3
4	Сборка ролика	—	1	1	3	1
5	Сборка предварительная	1, 2, 3, 4	2	4	2	4
6	Сборка привода тахометра	—	5	7	8	5
7	Сборка верхней крышки с уплотнителем	—	2	3	2	2
8	Сборка нижней крышки с уплотнителем	—	3	4	4	3
9	Общая сборка	5, 6, 7, 8	3	5	3	5

Представим данные таблицы для 15 варианта графически.

Рисунок 1

На рисунке 1 изображен  график работ,  возле работ- стрелок проставлены номера работ. Пронумеруем события, в кружках проставим номера событий. Работы, идущие от событий 1, 2, 3, 4, 5, 6 – фиктивные, отмечены пунктирными линиями. Проставим теперь возле стрелок-работ

времена выполнения соответствующих работ, продолжительность фиктивных работ равна 0. На рисунке 2 изображен сетевой график работ.

Рисунок 2

Определение. Наиболее продолжительный полный путь называется критическим.

Определение. Под длиной пути в сетевом графике понимают суммарную продолжительность составляющих его работ.

Определение. Наиболее раннее время (минимальное) возможного наступления события j (T^p_j) равно максимальной длине пути из входа в j-е событие.

Оно же, следовательно, является наиболее ранним временем начала всех работ, выходящих из j-го события.

Определение. Критическим временем (Т_кр) выполнения проекта называется время наступления последнего события.

То есть это минимальное время, в пределах которого коллектив исполнителей в состоянии выполнить весь комплекс работ сетевого графика.

Определение. Путь максимальной длины от входа до выхода, равный критическому времени, называется критическим путём (Р_кр).

Пусть начальное событие имеет номер 0 и конечное номер N . Обозначим через L_j длину максимального пути от события 0 до события j.
По известному принципу оптимальности Р. Беллмана

Величина L_j соответствует наиболее раннему времени T_j^р наступления j-го события, то есть самому раннему сроку завершения всех работ, предшествующих этому событию. Значение L_N  соответствует критическому времени
Обозначим через М_j длину пути наибольшей протяженности от события j до события N . Тогда по тому же принципу

Величина T_j^п = T_кр — М_j соответствует наиболее позднему допустимому времени наступления j—го события, то есть самому позднему сроку начала всех работ, последующих за этим событием. Совершенно очевидно, что для событий, лежащих на критическом пути, самое раннее и самое позднее времена их наступления будут совпадать.

Для того, чтобы событие j принадлежало критическому пути, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство T_j^р = T_j^п.

Рассмотрим сетевой график (рис. 2). Определим для него основные параметры событий, все найденные значения сведем в таблицу 2.

Таблица 2

j	Tjр	i	Мj	k	Tjп	rj
1	2	3	4	5	6	7
0	0	‑	11	4	0	0
1	2	0	5	7	6	4
2	1	0	5	7	6	5
3	1	0	5	7	6	5
4	8	0	3	8	8	0
5	2	0	3	8	8	6
6	4	0	3	8	8	4
7	3	0	5	8	6	3
8	8	4	3	9	8	0
9	11	8	0	—	11	0

Здесь рассчитываем значения T_j^р в порядке роста номеров, то есть T₀^р = 0; T₁^р = 2 (i = 0); T₂^р = 1 (i = 0); T₃^р = 1(i =0); T₄^р =8 (i =0); T₅^р =2 (i =0); T₆^р =4 (i =0); T₇^р =3 (i = 0); T₈^р = max [2 + T₇^р; 0 + T₄^р; 0 + T₅^р; 0 + T₆^р] = max [2 + 3, 0+8, 0 + 2,0+4] = max [5, 8, 2,4]=8 (i = 5); T₉^р    =3+8=11 (i =0).

Затем рассчитываем значения М_j в порядке убывания номеров, то есть начинаем с М₉. М₉ = 0; М₈ =3 (k = 9); М₇ =5 (k = 8); М₆ =3 (k = 8); М₅ =3 (k = 8); М₄ =3 (k =8); М₃ =5 (k =7); М₂ =5 (k =7); М₁ =5 (k =7); М₀ =11 (k =4);

Резерв времени событий находим по формуле: r_j = T_j^п — T_j^p.

В итоге имеем информацию о наиболее ранних и наиболее поздних моментах наступления событий и индексы предшествующих и последующих событий в самых длинных путях, проходящих через данное событие.

Критический путь с длиной 11: Р = {0, 4, 8, 9}. Найденный критический путь выделим на сетевом графике (рисунок 2)

Используют следующие резервы времени:

1. Полный резерв          r_ij = T_j^п— T_i^р — t_ij

2. Свободный резерв              r_ij = T_j^р — T_i^р — t_ij ,

3. Независимый резерв r_ij =max [T_j^р — T_i^п — t_ij, 0].

Так полный резерв работы можно понимать как время, на которое можно замедлить выполнение работы, если предшествующие работы завершатся к самому раннему сроку, но комплекс последующих работ будет выполняться в кратчайший возможный срок. Независимый резерв предполагает завершение предшествующих работ к самому позднему, но начало последующих в самый ранний срок.

Результаты обработки приведенного сетевого графика можно представить следующей таблицей:

Таблица 3

Работа	Продолжительность	Раннее время		Позднее время		Резервы времени
		начала	конца	начала	конца	полн.	своб.	незав.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0-1	2	0	2	0	6	4	0	0
0-2	1	0	1	0	6	5	0	0
0-3	1	0	1	0	6	5	0	0
0-4	8	0	8	0	8	0	0	0
0-5	2	0	2	0	8	6	0	0
0-6	4	0	4	0	8	4	0	0
0-7	3	0	3	0	6	3	0	0
1-7	0	2	3	6	6	4	1	0
2-7	0	1	3	6	6	5	2	0
3-7	0	1	3	6	6	5	2	0
4-8	0	8	8	8	8	0	0	0
5-8	0	2	8	8	8	6	6	0
6-8	0	4	8	8	8	4	4	0
7-8	2	3	8	6	8	3	3	0
8-9	3	8	11	8	11	0	0	0

Одним из параметров сетевого графика, характеризующим напряжённость выполнения работы является коэффициент напряжённости (k_ij). Для нахождения этого коэффициента отыскивается путь максимальной длины, проходящий через данную работу, при этом используются индексы предшествующих и последующих событий, которые мы находили при поиске T_j^р и T_j^п. На этом пути ищутся ближайшие слева и справа события, принадлежащие критическому пути, и определяется отношение длины пути между этими событиям, проходящего через данную работу, к длине соответствующего отрезка критического пути.

Определение. Коэффициентом напряжённости называют максимальное среди отношений длин несовпадающих отрезков пути максимальной длины и критического, заключённых между одними и теми же событиями, принадлежащими обоим путям.
Критический путь: Р = {0, 4, 8, 9}, длина критического пути
Для критических работ k_ij = 1.  Через некритическую работы 0-1 проходит путь максимальной длины {0, 1, 7, 8, 9, 10}. Ближайшими соседями на критическом пути  {0, 4, 8, 9} будут события 0 и 8. Отсюда находим коэффициент напряженности:

Аналогично получаем:

ЗАДАНИЕ № 5

Задача деления ресурса X на две части

Допустим, что мы имеем сумму X денежных единиц, которую разделим на две части Y и (X-Y), где 0 £ Y £ X. Затем на часть Y покупаем оборудование типа A и на часть (X-Y) оборудование типа B. Эксплуатация оборудования в течение некоторого периода даёт доход g(Y) и h(X-Y). По истечении периода оборудование может быть каким-либо образом реализовано за сумму aY + b(X-Y), где 0 £ a,b £ 1. Выручка от продажи вновь используется для закупки оборудования и т.д. Этот процесс продолжается в течение N периодов.

Найти оптимальную политику закупки оборудования, при которой суммарная прибыль будет максимальной.

Решить для N = 4,  g(Y) = aY,  h(X-Y) = b(X-Y);

(В колонке с именем № указаны номера вариантов)

№	a	b	a	b
15	1,1	0,9	0,5	0,8

Решим данную задачу при a = 1,1; b = 0,9; a = 0,5; b = 0,8 и N=4.

g(Y) = aY,  h(X-Y) = b(X-Y) , т.е. g(Y) =1.1Y,  h(X-Y) = 0.9(X-Y)

По истечении периода оборудование может быть реализовано за сумму aY + b(X-Y), т.е. на сумму  0.5Y + 0.8(X-Y)

Найдем прибыль одношагового процесса:

Здесь пришлось выбирать максимум из двух значений функций: при Y = 0 и Y = Х, то есть на границах области определения Y, так как функция, определяющая f(х), линейна по Y.

Итак, прибыль одношагового процесса:

Прибыль двухшагового процесса будет равна:

f₂(x) = max{1,1y + 0,9(x—y) + f₁(0,5y + 0,8(x—y))} = max{1,1y + 0,9(x—y) + 1,1(0,5y + 0,8(x—y))} = max{(0,9x + 1,1×0,8x) ; (1,1x + 1,1×0,5x) } = max(1,78x; 1,65x) = 1,78x, причём максимум находили при 0 £ y £ x и получили при y₂(x) = 0.

Здесь функция f₂(x) выражена через f₁(aх + b(х-у)). Так как функция f₁(x), найденная в общем виде как f₁(x) = 1,1х, то f₁(ay + b(х-у)) =1,1(aу + b(х-у)).

Итак, прибыль двухшагового процесса:

Для трехшагового процесса:

f₃(x) = max{1,1y + 0,9(x—y) + f₂(0,5y + 0,8(x—y))} = max{1,1y + 0,9(x—y) + 1,78(0,5y + 0,8(x—y))} = max{(0,9x + 1,78×0,8x) ; (1,1x + 1,78×0,5x) } = max(2,324x; 1,99x) = 2,324х  при y₃(x) =0.

Итак, прибыль трехшагового процесса:

Максимум также находили по 0 £ y £ x.

Для четырехшагового процесса:

F₄(x) = max{1,1y + 0,9(x—y) + f₃(0,5y + 0,8(x—y))} = max{1,1y + 0,9(x—y) + 2,234(0,5y + 0,8(x—y))} = max{(0,9x + 2,234×0,8x) ; (1,1x + 2,234×0,5x) } = max(2,7592x; 2,262x) = 2,7592х  при y₄(x) =0.

Итак, прибыль четырехшагового процесса:

Итак, максимальная прибыль четырехшагового процесса равна 2,7592х.

Выясним структуру оптимального распределения по шагам процесса.

В первый год четырехшагового процесса y₁ = y₄(x) = 0, то есть оборудование типа А вообще не закупать, на всю сумму Х покупать оборудование типа В. Прибыль первого года составит 0.9(x—y) = 0,9х. После реализации приобретенного оборудование типа В получаем выручку b(х — у₁) = 0,8х = х₁. Следовательно, оставшийся трехшаговый процесс начинаем с распределения суммы х₁ = 0,8х.

Оптимальное поведения на втором шаге четырехшагового процесса или что то же самое на первом шаге оставшегося трехшагового процесса есть: у₂ = у₃(х₁) = у₃(0,8х) = 0.

Вновь покупаемое оборудование типа В на всю сумму 0,8х, (так как у₂ = 0), которые дают прибыль второго шага β(х — у₁) = 0,9(0,8х) = 0,72х и выручку от реализации х₂ = b(х — у₁) = 0,8(0,8х) = 0,64х, с которой начинаем оставшийся двухшаговый процесс.

Оптимальное проведение третьего шага будет: у₃ = у₂(х₂) = у₂(0,64х) = 0, то есть покупать машины только типа B. Прибыль третьего шага β(x2- у₃ )= 0,9(0,64х) = 0,576х, выручка от реализации х₃ =b(x2- у₃) = 0,8(0,64х) = 0,512х.

Оптимальное проведение четвертого шага будет: у₄ = у₁(х₃) = у₄(0,512х) =0,512х, то есть покупать оборудование только типа А. Прибыль четвертого шага α* у₄  = 1,1(0,512х) = 0,5632х, выручка от реализации х₄ = а*у₄ = 0,5(0,512х) = 0,256х.

Так как нас интересовала только прибыль за четыре периода, то можно получить найденную сумму f₄(х) = 2,7592х, просуммировав величины прибылей каждого периода:

0,9х + 0,72х + 0,576х + 0,5632х = 2,7592х.

Мы нашли не значения функций F_k(X), Y_k(X), а сами функции, что позволит нам выяснить оптимальную политику при любом начальном ресурсе Z